package com.hy.dp;

public class IntegerPartition {


    /**
     * 343. 整数拆分
     * 力扣题目链接
     *
     * 给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
     *
     * 示例 1:
     *
     * 输入: 2
     * 输出: 1
     * 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
     * 示例 2:
     *
     * 输入: 10
     * 输出: 36
     * 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
     * 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
     *  思路：
     * 动态规划
     * 动规五部曲，分析如下：
     *
     * 1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
     * dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
     *
     * dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！
     *
     * 2.确定递推公式
     * 可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
     *
     * 其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
     *
     * 一个是j * (i - j) 直接相乘。
     *
     * 一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
     *
     * 那有同学问了，j怎么就不拆分呢？
     *
     * j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
     *
     * 也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
     *
     * 如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
     *
     * 所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
     *
     * 那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
     *
     * 因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
     *
     * 3.dp的初始化
     * 不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
     *
     * 有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
     *
     * 严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
     *
     * 拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
     *
     * 这是无解的。
     *
     * 这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！
     *
     * 4.确定遍历顺序
     * 确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
     *
     * dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
     *
     * 枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
     *
     * 所以遍历顺序为：
     *
     * for (int i = 3; i <= n ; i++) {
     *     for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
     *         dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
     *     }
     * }
     * 5.举例推导dp数组
     * 举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
     *  2   3   4   5   6   7   8   9   10
     *  1   2   4   6   9   12  18  27  36
     * @param n
     * @return
     */

    /**
     * dp 五部曲
     * 1.定义下标
     * 2.推导式
     * 3.初始化
     * 4.循环遍历
     * 5.结果
     * @param n
     * @return
     */
    public int integerPartition(int n){
        //dp[i] 为正整数 i 拆分后的结果的最大乘积
        int [] dp = new int[n+1];
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i - j; j++) {
                // 这里的 j 其实最大值为 i-j,再大只不过是重复而已，
                //并且，在本题中，我们分析 dp[0], dp[1]都是无意义的，
                //j 最大到 i-j,就不会用到 dp[0]与dp[1]
                dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max((i - j) * j,dp[i - j] * j));
                // j * (i - j) 是单纯的把整数 i 拆分为两个数 也就是 i,i-j ，再相乘
                //dp[i] = dp[i - j] * j  而j * dp[i - j]是将 i 拆分成两个以及两个以上的个数,再相乘。
            }
        }
        return dp[n];
    }

    // 贪心算法   本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！
    public int integerBreak(int n){
        if (n == 2){
            return 1;
        }
        if (n == 3){
            return 2;
        }
        if (n == 4){
            return 4;
        }
        int res = 1;
        while (n > 4){
            res *= 3;
            n-=3;
        }
        res *= n;
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        IntegerPartition integerPartition = new IntegerPartition();

        System.out.println("res: "+integerPartition.integerPartition(5));
        System.out.println("res: "+integerPartition.integerBreak(5));
    }
}
